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萍鄉(xiāng)學院專升本考試《數學分析》考試大綱2021

發(fā)布時間:2021/03/11 13:55:00 來源:易學仕專升本網 閱讀量:1830 熱點: 2021江西專升本

摘要:2021年萍鄉(xiāng)學院專升本數學與應用數學專業(yè)的考生可以通過《數學分析》考綱的要求及內容,找到正確的備考思路,熟悉考試與命題的方向,從而更好地應對即將到來的專升本考試。

  2021年萍鄉(xiāng)學院專升本數學與應用數學專業(yè)的考生可以通過《數學分析》考綱的要求及內容,找到正確的備考思路,熟悉考試與命題的方向,從而更好地應對即將到來的專升本考試。 

萍鄉(xiāng)學院專升本考試《數學分析》考試大綱2021

  一、課程名稱:數學分析

  二、適應專業(yè):數學與應用數學

  三、考試方式:閉卷

  四、考試時間:120分鐘

  五、考試題型及分數:

  1.選擇題:共6小題,每題5分,共計30分;

  2.選擇題:共6小題,每題5分,共計30分;

  3.計算題:共5小題,每題10分,共計50分;

  4.證明題:共2小題,每題15分,共計30分;

  六、指定教材與建議參考書:

  指定教材:《新編數學分析》(上下冊),林元重編著,武漢大學出版社,2015.3;

  建議參考書:《數學分析(第五版)》(上下冊),華東師范大學數學數學科學學院編,高等教育出版社,2019.5;

  《數學分析講義(第六版)》(上下冊),劉玉蓮、傅沛仁、劉偉、林玎主編,高等教育出版社,2019.4.

  七、考試內容及分數分布

  第一章極限論(約15%)

  1.1引言

  考核內容:1.數學分析是什么.

  2.實數的基本性質和絕對值的不等式,區(qū)間與鄰域,集合的上下界.

  3.函數的定義與表示法,復合函數與反函數,初等函數.

  4.函數的有界性,單調性,奇偶性和周期性.

  考核要求:1.了解數學分析是什么.

  2.掌握實數的性質(有序性,稠密性,阿基米德性.實數的四則運算),掌握實數的基本概念和最常見的不等式.

  3.掌握函數概念和函數的不同的表示方法.

  4.掌握函數的有界性,單調性,奇偶性和周期性.

  1.2數列極限概念

  考核內容:1.數列極限概念.

  2.數列極限的唯一性,有界性,保號性,保不等式性,四則運算法則.

  3.數列極限的夾逼準則和單調有界準則,數集的確界及確界原理,數列的子列及相關定理(包括致密性定理),柯西收斂準則.

  考核要求:1.深刻理解并掌握數列極限概念,學會用數列極限的定義證明極限,學會證明數列極限的基本方法.

  2.掌握數列極限的基本性質,掌握四則運算法則.

  3.掌握夾逼準則,理解數集確界及確界原理,掌握單調有界準則,理解柯西收斂準則.

  1.3函數極限概念及性質

  考核內容:1.函數極限的定義、定義,左右極限.

  2.函數極限的唯一性,有界性,保號性,保不等式性,四則運算法則.

  考核要求:1.正確理解和掌握函數極限的定義、定義,掌握極限與左右極限的關系,能夠用定義證明和計算函數的極限.

  2.理解并掌握函數極限的基本性質(唯一性,有界性,保號性,保不等式性,四則運算法則),會用這些性質計算函數的極限.

  1.4函數極限存在的準則與兩個重要極限

  考核內容:1.函數極限的歸結,函數極限的單調有界定理,函數極限的柯西準則.

  2.兩個重要極限.

  考核要求:1.理解并掌握函數極限的歸結原則,了解函數極限的單調有界定理,理解函數極限的柯西準則.能夠寫出函數極限的歸結原理和柯西準則.

  2.熟練掌握兩個重要極限.

  1.5無窮小量與無窮大量

  考核內容:無窮小量與無窮大量,高階無窮小,同階無窮小,等價無窮小,無窮大.

  考核要求:掌握無窮小量與無窮大量以及它們的階數的概念.

  1.6連續(xù)性概念

  考核內容:1.函數連續(xù),函數左右連續(xù),區(qū)間上函數連續(xù)的概念.

  2.間斷點及其分類.

  考核要求:深刻理解并掌握函數連續(xù)性概念.

  1.7連續(xù)函數的局部性質與初等函數的連續(xù)性

  考核內容:1.連續(xù)函數的局部有界性,局部保號性,四則運算.

  2.復合函數的連續(xù)性,反函數的連續(xù)性,初等函數的連續(xù)性.

  考核要求:掌握連續(xù)函數的局部性質和和初等函數的連續(xù)性.

  1.8閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質

  考核內容:1.連續(xù)函數的最大最小值定理,介值性定理.

  2.一致連續(xù)性概念,一致連續(xù)性定理.

  考核要求:1.理解閉區(qū)間上連續(xù)函數的最大最小值定理,介值性定理.

  2.理解并掌握一致連續(xù)性概念,理解一致連續(xù)性定理.

  1.9實數的連續(xù)性與上(下)極限

  考核內容:1.區(qū)間套定理、聚點定理,上(下)極限及其性質.

  2.有限覆蓋定理,幾個基本定理的等價性.

  考核要求:1.理解區(qū)間套定理、聚點定理,了解上(下)極限及其性質.

  2.理解有限覆蓋定理,了解幾個基本定理的等價性.

  第二章一元函數微分學(約20%)

  2.1導數的概念

  考核內容:1.變化率——導數,單側導數,導函數,幾個基本導數公式,幾何意義.

  2.增量——微分公式,可導與連續(xù)的關系.

  考核要求:1.理解并掌握導數的定義,掌握導數的幾何意義,了解導數的物理意義.

  2.了解增量——微分公式,掌握可導與連續(xù)的關系.了解費馬定理、達布定理.

  2.2導數的運算法則

  考核內容:1導數的四則運算法則,反函數的求導法則.

  2.復合函數的求導法則,對數求導法,基本導數公式.

  考核要求:1.熟練掌握導數的四則運算法則,理解反函數的求導法則.

  2.熟練掌握復合函數的求導法則及基本導數公式.

  3.知道求分段函數在分段點處的導數.

  2.3參變量函數和隱函數的導數

  考核內容:參變量函數的求導法則,隱函數的求導法,相關變化率.

  考核要求:掌握參變量函數的求導法則,知道求隱函數的導數,會運用求導法則求相關變化率.

  2.4微分

  考核內容:1.微分的概念,微分的運算法則,一階微分形式的不變性,微分在近似計算中的應用.

  2.利用微分法則求參變量函數和隱函數的導數.

  考核要求:1.深刻理解并掌握微分的概念,掌握微分的運算方法,了解微分在近似計算中的應用.

  2.理解微分與導數的關系,會利用微分法則求參變量函數和隱函數的導數.

  2.5高階導數與高階微分

  考核內容:1.高階導數及其計算,高階導數的萊布尼茨公式.

  2.高階微分及其計算.

  考核要求:1.掌握高階導數的概念和計算,掌握高階導數的萊布尼茨公式.

  2.了解高階微分及其計算,知道高階導數與高階微分的關系.

  2.6拉格朗日定理和函數的單調性、極值

  考核內容:1.極值概念與費馬定理.

  2.羅爾定理,拉格朗日中值定理,應用中值定理證明不等式和中值公式舉例,達布定理,導數極限定理.

  3.函數的單調性與極值,函數的最值,最值應用題舉例.

  考核要求:1.掌握羅爾定理和拉格朗日中值定理的條件、結論及證明方法,會應用中值定理證明一些不等式和一些中值公式,了解達布定理和導數極限定理.

  2.掌握求函數的單調區(qū)間和極值及最值的一般方法.

  2.7柯西中值定理和不定式極限

  考核內容:柯西中值定理及其簡單應用舉例,洛必達法則,不定式極限計算舉例.

  考核要求:掌握柯西中值定理,掌握羅比達法則,會求各種形式的不定式極限.

  2.8泰勒公式

  考核內容:1.帶佩亞諾余項和帶拉格朗日余項的泰勒公式和麥克勞林公式,幾個基本初等函數的麥克勞林公式.

  2.泰勒公式應用舉例(不定式極限,高階導數,函數極值,近似計算).

  考核要求:理解帶兩種余項形式的泰勒公式,掌握基本初等函數的麥克勞林公式(熟記六個),會利用它們求不定式極限,了解泰勒公式在求高階導數、函數極值以及近似計算方面的應用.

  2.9其它應用

  考核內容:函數的凸性與拐點,凸性的判定,漸近線,函數作圖,方程的近似解.

  考核要求:1.掌握函數凸性與拐點的概念,會求函數凹凸區(qū)間與拐點,了解函數凸性在證明不等式方面的應用.

  2.會求曲線的漸近線,了解函數作圖的一般步驟,會描繪函數的圖像.

  3.了解求方程近似解的牛頓切線法.

  第三章一元函數積分學(約20%)

  3.1不定積分的概念與線性運算

  考核內容:原函數與不定積分的概念,基本積分公式與線性運算法則,不定積分的幾何意義.

  考核要求:理解原函數與不定積分的概念,熟練掌握基本積分公式及不定積分的線性運算法則,了解不定積分的幾何意義,了解連續(xù)分段函數的原函數的求法.

  3.2換元積分法與分部積分法

  考核內容:第一、二換元積分法,分部積分法.

  考核要求:理解并熟練掌握第一、二換元積分法與分部積分法.

  3.3有理函數和三角函數有理式的不定積分

  考核內容:有理函數的不定積分,三角函數有理式的不定積分,兩類無理函數的不定積分.

  考核要求:掌握有理函數不定積分的計算方法,會計算一些三角函數有理式的不定積分,會計算一些簡單無理函數的不定積分,了解歐拉變換法.

  3.4定積分的概念與牛頓——萊布尼茨公式

  考核內容:定積分的幾何背景和物理背景,定積分的定義(極限形式的定義和定義),牛頓——萊布尼茨公式.

  考核要求:1.深刻理解并掌握定積分的概念,知道定積分概念的定義,了解定積分的幾何意義和物理意義.

  2.熟練掌握牛頓——萊布尼茨公式,會利用牛頓——萊布尼茨公式計算一些特殊的和式極限.

  3.5可積函數類與定積分的性質

  考核內容:1.可積的必要條件,上(下)和與上(下)積分,可積的充要條件(可積準則),可積函數類.

  2.定積分的基本性質,積分第一中值定理.

  考核要求:1.理解函數可積的必要條件,函數可積的充要條件(可積準則),掌握三類可積函數,對這些定理的證明及其證明思路只要求讀懂,不作其它較高要求.

  2.理解并掌握定積分的若干基本性質,能證明一些簡單的積分不等式.

  3.6微積分學基本定理、定積分的計算(續(xù))

  考核內容:變上(下)限的定積分,微積分學基本定理,換元積分法與分部積分法,積分第二中值定理,泰勒公式的積分型余項,定積分近似計算.

  考核要求:1.掌握微積分學基本定理,會求變上(下)限的定積分的導數.

  2.熟練掌握換元積分法與分部積分法.

  3.理解積分第二中值定理,理解泰勒公式的積分型余項,了解定積分近似計算.

  3.7(3.8)定積分的應用

  考核內容:1.微元法概述.

  2.平面圖形的面積,由平行截面面積求體積,平面曲線的弧長與曲率,旋轉曲面面積.

  3.功,液體靜壓力,引力.

  考核要求:1.領會微元法的要領,掌握平面圖形面積、由平行截面面積求體積、平面曲線弧長的計算公式,了解曲線的曲率,旋轉曲面的面積.

  2.領會定積分在物理應用方面的基本方法.

  3.9無窮積分與瑕積分

  考核內容:1.無窮積分與瑕積分的定義和計算.

  2.無窮積分的基本性質,比較判別法(包括極限形式及特殊形式),絕對收斂與條件收斂,狄利克雷判別法與阿貝爾判別法.

  3.瑕積分的收斂性判別法.

  考核要求:1.掌握無窮積分與瑕積分的定義和計算.

  2.理解無窮積分的基本性質,掌握非負函數無窮積分的收斂性判別的比較判別法,掌握絕對收斂和條件收斂的概念,理解狄利克雷判別法和阿貝爾判別法(不作其它較高要求).

  3.了解瑕積分與無窮積分的關系,了解瑕積分的收斂性判別法.

  第四章級數論(約15%)

  4.1數項級數的基本概念及性質

  考核內容:數項級收斂與發(fā)散的定義和基本性質,等比級數,調和級數,柯西準則.

  考核要求:1.理解數項級數收斂與發(fā)散的定義,掌握收斂級數的基本性質,能夠根據定義或性質判別一些簡單簡單級數的斂散性.

  2.掌握等比級數與調和級數.

  3.理解級數收斂的柯西準則,對應用柯西準則判別級數的斂散性不作較高要求.

  4.2正項級數

  考核內容:1.比較判別法,比式判別法,根式判別法.

  2.積分判別法,拉貝判別法.

  考核要求:1.掌握判別正項級數斂散性的基本方法:比較判別法,比式判別法和根式判別.

  2.了解積分判別法和拉貝判別法.

  4.3變號級數

  考核內容:1.交錯級數及其萊布尼茨判別法,絕對收斂與條件收斂.

  2.狄利克雷判別法與阿貝爾判別法.

  3.絕對收斂級數的重排,絕對收斂級數的乘積.

  考核要求:1.掌握交錯級數的萊布尼茨判別法,掌握絕對收斂與條件收斂概念.

  2.理解狄利克雷判別法與阿貝爾判別法,對其應用一般不作較高要求.

  3.理解絕對收斂級數的兩條重要性質,對其應用不作較高要求.

  4.4函數項級數及其一致收斂性

  考核內容:1.函數列與函數項級數一致收斂性的定義,一致收斂的柯西準則.

  2.一致收斂的另一充要條件,魏爾斯特拉斯判別法.

  3.函數項級數收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.

  考核要求:1.深刻理解并掌握函數列和函數項級數一致收斂性的定義,理解一致收斂的柯西準則.

  2.掌握一致收斂的另一充要條件(即),掌握判別函數項級數的魏爾斯特拉斯判別法即優(yōu)級數判別法.

  3.理解判別函數項級數收斂性的狄利克雷判別法和阿貝爾判別法,對其應用不作較高要求.

  4.5一致收斂函數序列與函數項級數的性質

  考核內容:一致收斂函數列與函數項級數的連續(xù)性,逐項積分與逐項求導法則.

  考核要求:理解并掌握一致收斂函數列和函數項級數的連續(xù)性,逐項積分與逐項求導法則.

  4.6冪級數及其性質

  考核內容:冪級數的收斂半徑,收斂半徑的計算公式,收斂區(qū)間和收斂域的概念.

  考核要求:掌握冪級數的收斂半徑及收斂域的求法,掌握冪級數的基本性質和運算法則.

  4.7函數的冪級數展開

  考核內容:泰勒級數,麥克勞林級數,五種基本初等函數的冪級數展開式,初等函數的冪級數展開(直接法和間接法).

  考核要求:掌握泰勒級數和麥克勞林級數,熟記一些初等函數的冪級數展開式,掌握初等函數的冪級數展開.

  4.8傅里葉級數

  考核內容:1.三角級數;正交函數系,傅里葉級數,收斂定理,傅里葉級數的展開式舉例.

  2.以為周期的函數的展開式,掌握偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開式,函數的奇延拓與偶延拓及正弦級數與余弦級數.

  3.黎曼引理,收斂定理的證明,貝塞爾不等式,一致收斂性定理.

  考核要求:1.理解三角級數和傅里葉級數定義,掌握傅里葉級數的收斂定理,能夠按照收斂定理將比較簡單的函數展開成傅里葉級數.

  2.掌握以為周期的函數的展開式,掌握偶函數和奇函數的傅里葉級數的展開,掌握正弦級數,余弦級數.

  3.了解收斂定理的證明,了解傅里葉級數的一致收斂性.

  第五章多元函數微分學(約15%)

  5.1多元函數與極限(6)

  考核內容:1.二元函數及多元函數,平面中的鄰域,開域,閉域.

  2.二元函數重極限定義,二元函數極限存在的充要條件,方向極限與累次極限.

  考核要求:1.理解二元及多元函數的定義.了解平面中鄰域,開域,閉域的定義.

  2.理解二元函數重極限的定義,知道二元函數極限存在的充要條件,了解方向極限與累次極限,了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系.

  5.2二元函數的連續(xù)性

  考核內容:1.二元函數的連續(xù)性的定義,二元初等函數的連續(xù)性.

  2.中的聚點定理,致密性定理,閉區(qū)域套定理,有限覆蓋定理.

  3.有界閉域上連續(xù)函數的最大最小值定理,介值性定理和一致連續(xù)性.

  考核要求:1.理解二元函數的連續(xù)性的定義,知道二元初等函數的連續(xù)性.

  2.了解有關二維空間上的完備性定理,知道有界閉區(qū)域上連續(xù)函數的整體性質.

  5.3偏導數與全微分

  考核內容:1.多元函數偏導數與高階偏導數,偏導數的幾何意義,混合偏導數與求導順序無關的條件.

  2.二元函數可微和全微分的定義,微分法則,可微的必要條件,可微的充分條件,高階全微分及其運算.

  考核要求:1.理解并掌握多元函數偏導數的定義,知道偏導數的幾何意義,能夠熟練的求出初等函數的偏導數和高階偏導數,能夠求二元函數在一些特殊的導數,知道混合偏導數與求導順序無關的條件.

  2.理解并掌握二元函數可微和全微分的定義,掌握微分法則,掌握可微的必要條件,理解可微的充分條件,了解高階全微分及其運算.

  5.4復合函數微分法與方向導數

  考核內容:復合函數鏈式法則,復合函數的全微分,一階全微分形式不變性,方向導數與梯度.

  考核要求:理解并熟練掌握復合函數求導的鏈式法則,掌握方向導數與梯度的定義及其運算,了解二元函數的梯度的幾何意義.

  5.5多元函數的泰勒公式

  考核內容:泰勒公式與中值定理,泰勒公式的計算與應用舉例.

  考核要求:理解并掌握多元函數的泰勒公式,了解泰勒公式的一個推論——中值定理.

  5.6隱函數及其微分法

  考核內容:1.隱函數存在性定理,隱函數可微性定理.

  2.隱函數組及其可微性定理,反函數組定理.

  考核要求:1.理解隱函數定理和可微性定理,掌握隱函數微分法.

  2.了解隱函數組及其可微性定理,知道求隱函數組的偏導數.

  5.7多元函數偏導數的幾何應用

  考核內容:1.空間曲線的切線與法平面方程,曲面的切平面與法線方程.

  2.二元函數全微分的幾何意義,、三元函數梯度的幾何意義.

  考核要求:1.理解空間曲線(兩種表示形式)的切線方程的推導,掌握空間曲線的切線與法平面方程的求法,理解曲面(兩種表示形式)的切平面方程的推導,掌握曲面的切平面與法線的求法.

  2.了解二元函數全微分的幾何意義,了解三元函數梯度的幾何意義.

  5.8多元函數的極值與條件極值

  考核內容:1.二元函數的極值,必要條件與充分條件.

  2.條件極值,拉格朗日乘數法,用條件極值的方法證明不等式.

  考核要求:1.掌握二元函數的極值的必要條件與充分條件.

  2.了解拉格朗日乘數法,會用拉格朗日乘數法求條件極值.

  第六章多元函數積分學(約15%)

  6.1二重積分

  考核內容:1.二重積分的定義和性質,化二重積分為累次積分的計算公式.

  2.二重積分的變量變換公式,用極坐標計算二重積分.

  考核要求:1.了解平面點集的面積定義及其性質,理解二重積分的定義和性質,理解有界閉區(qū)域上的連續(xù)函數可積的結論,理解并熟練掌握化二重積分為累次積分的計算公式.

  2.理解二重積分變量變換公式的證明,掌握用極坐標計算二重積分.

  6.2三重積分

  考核內容:1.三重積分的定義,化三重積分為累次積分的計算公式(柱體法和截面法).

  2.三重積分變量變換公式,柱坐標變換公式,球坐標變換公式.

  考核要求:1.掌握三重積分的定義,了解三重積分的性質,熟練掌握化三重積分為累次積分的計算公式(柱體法和截面法).

  2.了解三重積分變量變換公式,掌握用球坐標和柱坐標計算三重積分.

  6.3 n重積分和廣義重積分

  考核內容:n重積分的定義,計算公式,廣義二重積分的性質,收斂性判別.

  考核要求:了解n重積分和廣義二重積分的概念和性質,了解廣義二重積分的收斂性判別.

  6.4重積分的應用

  考核內容:平面區(qū)域的面積,立體的體積,曲面的面積,物體重心,轉動慣量,引力.

  考核要求:掌握用重積分計算計算面積和體積,掌握曲面面積的計算公式,了解物體的重心,轉動慣量與引力及其計算公式.

  6.5第一型曲線積分

  考核內容:第一型曲線積分的定義,性質和計算公式.

  考核要求:理解并掌握第一型曲線積分的定義,性質和計算公式.

  6.6第二型曲線積分

  考核內容:1.第二型曲線積分的定義,性質,坐標形式和計算公式.

  2.兩類曲線積分之間的聯(lián)系.

  考核要求:1.理解并掌握第二型曲線積分的定義,性質,坐標形式和計算公式.

  2.了解兩類曲線積分之間的聯(lián)系.

  6.7格林公式

  考核內容:格林公式,曲線積分與路線無關的條件.

  考核要求:理解并掌握格林公式以及曲線積分與路線無關的條件.

  6.8第一型曲面積分

  考核內容:第一型曲面積分的定義和計算公式.

  考核要求:理解并掌握第一型曲面積分的定義和計算公式.

  6.9第二型曲面積分

  考核內容:有向曲面的概念,第二型曲面積分的定義、性質,兩類曲面積分的聯(lián)系,第二型曲面積分的計算公式.

  考核要求:理解并掌握第二型曲面積分的定義、性質,了解兩類曲面積分的聯(lián)系,掌握第二型曲面積分的計算公式.

  6.10高斯公式與斯托克斯公式

  考核內容:高斯公式,斯托克斯公式,沿空間曲線的第二型積分與路徑無關的條件.

  考核要求:理解并掌握高斯公式和斯托克斯公式.

  6.11含參變量的積分

  考核內容:1.含參變量的定積分的連續(xù)性,可微性和可積性定理的證明,定理的應用.

  2.含參變量的廣義積分的一致收斂性概念和性質,一致收斂性判別法.

  3.連續(xù)性,可微性與可積性定理,定理的應用.

  4.函數與函數的定義、性質及其聯(lián)系,余元公式.

  考核要求:1.理解并掌握含參變量的定積分的連續(xù)性,可微性和可積性定理,掌握計算含參變量的定積分基本方法.

  2.了解含參變量的廣義積分的一致收斂性概念和性質,了解一致收斂性判別法(魏爾斯特拉斯判別法,狄里克雷判別法和阿貝爾判別法.

  3.了解含參變量的廣義積分的連續(xù)性,可微性與可積性定理,了解含參變量的定積分基本方法.

  4.了解函數與函數的定義、性質及其聯(lián)系.

  上述為2021年萍鄉(xiāng)學院專升本數學與應用數學專業(yè)考試大綱的全部內容,日常的備考中,考生要去認真落實,在最后的沖刺備考階段也可以依據考試大綱進行自我檢測,找出自己沒有完全掌握的知識點,及時鞏固,提升復習效果。

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