九江學(xué)院2020年專(zhuān)升本《高等數(shù)學(xué)Ⅰ》考試大綱

第一部分：總要求

考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計(jì)算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

第二部分：考試內(nèi)容

一、函數(shù)、極限與連續(xù)

（一）函數(shù)

 1．知識(shí)范圍

（1）函數(shù)的概念：函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法、分段函數(shù)、隱函數(shù)。

（2）函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、有界性、周期性。

（3）反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖象。

（4）函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。

（5）基本初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。

（6）初等函數(shù)。

2. 要求

（1）理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值。了解分段函數(shù)的概念。

（2）理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。

（3）了解函數(shù)y=?（x）與其反函數(shù)y=?-1（x）之間的關(guān)系（定義域、值域、圖象），會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

（4）理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。

（5）掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其圖象。

（6）了解初等函數(shù)的概念。

（7）會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系。

（二）極限

 1．知識(shí)范圍

（1）數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列的極限。

（2）數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性，有界性，四則運(yùn)算定理，夾逼定理，單調(diào)有界數(shù)列的極限存在定理。

（3）函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義，左、右極限及其與極限的關(guān)系，x趨于無(wú)窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時(shí)函數(shù)的極限。

（4）函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運(yùn)算定理。

（5）無(wú)窮小量和無(wú)窮大量：無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的性質(zhì)，兩個(gè)無(wú)窮小量階的比較。

（6）兩個(gè)重要極限。

 2．要求

（1）了解極限的概念，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢(shì)。了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

（2）熟練掌握用極限的四則運(yùn)算法則求極限的方法，理解極限的有關(guān)性質(zhì)。

（3）了解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，了解無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系。了解無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）。

（4）熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

（三）連續(xù)

1．知識(shí)范圍

（1）函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，函數(shù)的間斷點(diǎn)。

（2）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性。

（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點(diǎn)定理）。

2．要求

（1）理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，會(huì)判斷簡(jiǎn)單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。

（2）會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)（含分段函數(shù)）。

（3）理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用介值定理（包括零點(diǎn)定理）推證一些簡(jiǎn)單命題。

（4）了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性。會(huì)利用連續(xù)性求極限。

二、一元函數(shù)微分學(xué)

（一）導(dǎo)數(shù)與微分

1．知識(shí)范圍

（1）導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

（2）求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

（3）求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法、隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。

（4）高階導(dǎo)數(shù)的概念：高階導(dǎo)數(shù)的定義，高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。

（5）微分：微分的定義，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，微分法則，一階微分形式不變性。

2．要求

（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系。掌握用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的方法。

（2）會(huì)求曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程。

（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則。會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（4）掌握隱函數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（5）了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

（6）理解函數(shù)的微分概念，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

（二）微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1．知識(shí)范圍

（1）中值定理：羅爾中值定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（）中值定理。

（2）洛必達(dá)（L’Hospital）法則。

（3）函數(shù)增減性的判定法。

（4）函數(shù)極值與極值點(diǎn)，最大值與最小值。

（5）曲線(xiàn)的凹凸性、拐點(diǎn)。

（6）曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。

（7）曲率。

（8）簡(jiǎn)單的函數(shù)圖形。

2．要求

（1）理解解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義，會(huì)用拉格朗日中值定理證明某些簡(jiǎn)單的不等式或恒等式。了解柯西中值定理。

（2）熟練掌握洛必達(dá)法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。

（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡(jiǎn)單的不等式。

（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

（5）會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷曲線(xiàn)的凹凸性，會(huì)求曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。

（6）會(huì)求曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)。

（7）了解曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。

（8）會(huì)作出簡(jiǎn)單的函數(shù)圖形。

三、一元函數(shù)積分學(xué)

（一）不定積分

1．知識(shí)范圍

（1）不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義，原函數(shù)存在定理，不定積分的性質(zhì)。

（2）基本初等函數(shù)的積分公式。

（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法），第二換元法。

（4）分部積分法。

（5）一些簡(jiǎn)單有理函數(shù)的積分。

2．要求

（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。

（2）掌握基本初等函數(shù)的不定積分公式。

（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。

（5）會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。

（二）定積分

1．知識(shí)范圍

（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義。

（2）定積分的性質(zhì)。

（3）定積分的計(jì)算：變上限的定積分，牛頓一萊布尼茨（Newton - Leibniz）公式，換元積分法，分部積分法。

（4）廣義積分的概念。

（5）定積分在幾何上的應(yīng)用：平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、已知平行截面面積的立方體體積，平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)。

2．要求

（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解函數(shù)可積的條件。

（2）掌握定積分的基本性質(zhì)。

（3）理解變上限的定積分的含義，掌握對(duì)變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

（4）熟練掌握牛頓—萊布尼茨公式。

（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

（6）理解廣義積分，根據(jù)定義會(huì)求一些簡(jiǎn)單的廣義積分。

（7）理解用元素法將實(shí)際問(wèn)題表達(dá)成定積分的分析方法。

（8）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積的計(jì)算方法，會(huì)求簡(jiǎn)單的已知平行截面面積的立方體體積，會(huì)求平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)。

四、多元函數(shù)微積分學(xué)

（一）多元函數(shù)微分學(xué)

1．知識(shí)范圍

（1）空間直角坐標(biāo)系。

（2）多元函數(shù)。

多元函數(shù)的定義、二元函數(shù)的幾何意義、二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念。

（3）偏導(dǎo)數(shù)與全微分

偏導(dǎo)數(shù)、全微分、二階偏導(dǎo)數(shù)

（4）復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

（5）隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

（6）二元函數(shù)的無(wú)條件極值與條件極值

 2．要求

（1）了解空間直角坐標(biāo)系的概念，會(huì)求空間兩點(diǎn)間的距離。

（2）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義、會(huì)求二元函數(shù)的表達(dá)式與定義域。了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。

（3）理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，了解偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。

（4）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

（5）掌握復(fù)合函數(shù)一、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

（6）會(huì)求多元函數(shù)的全微分。

（7）掌握由方程所確定的隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

（8）會(huì)求多元函數(shù)的無(wú)條件極值，會(huì)用拉格朗日數(shù)乘法求多元函數(shù)的條件極值。

（二）二重積分

1．知識(shí)范圍

（1）二重積分的概念

二重積分的定義、二重積分的幾何意義

（2）二重積分的性質(zhì)

（3）二重積分的計(jì)算

（4）二重積分的應(yīng)用

2．要求

（1）了解二重積分的概念與基本性質(zhì)，理解二重積分的幾何意義。

（2）掌握二重積分的計(jì)算方法（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)），能夠根據(jù)積分域和被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇坐標(biāo)系和積分次序，能正確地定出二次積分的積分限。

（3）會(huì)用二重積分解決簡(jiǎn)單的積分問(wèn)題。

五、無(wú)窮級(jí)數(shù)

（一）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

1．知識(shí)范圍

（1）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念、級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)、級(jí)數(shù)收斂的必要條件

（2）正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的判別法

比較判別法、比值判別法、

（3）任意項(xiàng)級(jí)數(shù)

交錯(cuò)級(jí)數(shù)、絕對(duì)收斂、條件收斂、萊布尼茨判別法

2．要求

（1）理解級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散、收斂級(jí)數(shù)的和的概念。

（2）掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)和級(jí)數(shù)收斂的必要條件，掌握幾何級(jí)數(shù)和P——級(jí)數(shù)的收斂性，掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法和比值判別法，了解級(jí)數(shù)的根式判別法。

（3）掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法。了解任意項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，以及它們之間的關(guān)系。

（二）冪級(jí)數(shù)

1．知識(shí)范圍

（1）冪級(jí)數(shù)的概念

收斂半徑、收斂區(qū)間

（2）冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

（3）將簡(jiǎn)單的初等函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)

2．要求

（1）了解冪級(jí)數(shù)的概念。

（2）掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間的求法。

（3）了解冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性，逐項(xiàng)微分和逐項(xiàng)積分）。

（4）掌握幾個(gè)常用初等函數(shù)的麥克勞林展開(kāi)式，并會(huì)利用這些展開(kāi)式將一些簡(jiǎn)單函數(shù)間接展開(kāi)成冪函數(shù)。

六、常微分方程

一階微分方程

1.知識(shí)范圍

（1）微分方程的概念

微分方程的定義、階、解、通解、初始條件和特解

（2）可分離變量的微分方程

（3）一階線(xiàn)性微分方程

2.要求

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解

（2）掌握可分離變量的微分方程的解法。

（3）掌握一階線(xiàn)性微分方程解法。

第三部分：參考教材

1. 《高等數(shù)學(xué)》（上、下冊(cè)）（第四、五、六、七版）同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室編，高等教育出版社

2. 《微積分》  馬軍  許成鋒  主編，北京理工大學(xué)出版社

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