山東省2018年普通高等教育專升本高等數(shù)學(xué)（公共課）考試要求

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山東省2018年普通高等教育專升本

高等數(shù)學(xué)（公共課）考試要求

一、總體要求

考生應(yīng)了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計(jì)算的能力；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

二、內(nèi)容范圍和要求

（一）函數(shù)、極限和連續(xù)

1.函數(shù)

（1）理解函數(shù)的概念：函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，分段函數(shù)。

（2）理解和掌握函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)：?jiǎn)握{(diào)性，奇偶性，有界性，周期性。

（3）了解反函數(shù)：反函數(shù)的定義，反函數(shù)的圖象。

（4）掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。

（5）理解和掌握基本初等函數(shù)：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，反三角函數(shù)。

（6）了解初等函數(shù)的概念。

2.極限

（1）理解數(shù)列極限的概念：數(shù)列，數(shù)列極限的定義，能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢(shì)。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

（2）了解數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性，有界性，四則運(yùn)算定理，夾逼定理，單調(diào)有界數(shù)列，極限存在定理，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

（3）理解函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點(diǎn)處極限的定義，左、右極限及其與極限的關(guān)系，x趨于無(wú)窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時(shí)函數(shù)的極限。

（4）掌握函數(shù)極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運(yùn)算定理。

（5）理解無(wú)窮小量和無(wú)窮大量：無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的定義，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系，無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的性質(zhì)，兩個(gè)無(wú)窮小量階的比較。

（6）熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

3.連續(xù)

（1）理解函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，左連續(xù)和右連續(xù)，函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件，函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類。

（2）掌握函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性，反函數(shù)的連續(xù)性，會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類型。

（3）掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點(diǎn)定理），會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。

（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會(huì)利用連續(xù)性求極限。

（二）一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)與微分

（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

（2）會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。

（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。

（4）掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（5）理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)。

（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

2.中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。

（2）熟練掌握洛必達(dá)法則求“0/0”、“∞/∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。

（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會(huì)利用函數(shù)的增減性證明簡(jiǎn)單的不等式。

（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（小）值的方法，并且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

（5）會(huì)判定曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。

（6）會(huì)求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

（三）一元函數(shù)積分學(xué)

1.不定積分

（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。

（2）熟練掌握不定積分的基本公式。

（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。

2.定積分

（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。

（2）掌握定積分的基本性質(zhì)。

（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式。

（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

（6）理解無(wú)窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

（7）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積。

（四）向量代數(shù)與空間解析幾何

1.向量代數(shù)

（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會(huì)求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。

（2）掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積與向量積的計(jì)算方法。

（3）掌握二向量平行、垂直的條件。

2.平面與直線

（1）會(huì)求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程。會(huì)判定兩平面的垂直、平行。

（2）會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。

（3）了解直線的一般式方程，會(huì)求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程。會(huì)判定兩直線平行、垂直。

（4）會(huì)判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）。

（五）多元函數(shù)微積分

1.多元函數(shù)微分學(xué)

（1）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極值與連續(xù)概念（對(duì)計(jì)算不作要求）。會(huì)求二元函數(shù)的定義域。

（2）理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。

（3）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。

（4）掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。

（5）會(huì)求二元函數(shù)的全微分。

（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函數(shù)z=z（x，y）的一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

（7）會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值。

2.二重積分

（1）理解二重積分的概念、性質(zhì)及其幾何意義。

（2）掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。

（六）無(wú)窮級(jí)數(shù)

1.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

（1）理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件，了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。

（2）掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值數(shù)別法。會(huì)用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法。

（3）掌握幾何級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)與p級(jí)數(shù)的斂散性。

（4）了解級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，會(huì)使用萊布尼茨判別法。

2.冪級(jí)數(shù)

（1）了解冪級(jí)數(shù)的概念，收斂半徑，收斂區(qū)間。

（2）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分）。

（3）掌握求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點(diǎn)）的方法。

（七）常微分方程

1.一階微分方程

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

（2）掌握可分離變量方程的解法。

（3）掌握一階線性方程的解法。

2.二階線性微分方程

（1）了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。