南昌大學(xué)科學(xué)技術(shù)學(xué)院2020年專(zhuān)升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、適用專(zhuān)業(yè)

本大綱適用于理工科類(lèi)各專(zhuān)業(yè)。

二、總體要求

本大綱規(guī)定了我院專(zhuān)升本考試對(duì)《高等數(shù)學(xué)》的總體要求，考生應(yīng)按本大綱的要求， 了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中的函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分學(xué)、無(wú)窮級(jí)數(shù)、常微分方程等方面的基本概念和基本理論，學(xué)會(huì)、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法，應(yīng)注意各部分知識(shí)的結(jié)構(gòu)及知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力， 能運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計(jì)算，能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析并解決簡(jiǎn)單的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。

本大綱對(duì)內(nèi)容的要求由低到高，對(duì)概念和理論分為“了解”和“理解”兩個(gè)層次；對(duì)方法和運(yùn)算分為“會(huì)”、“掌握”和“熟練掌握”三個(gè)層次。

三、考試內(nèi)容

（一） 函數(shù)、極限和連續(xù)

1.函數(shù)

（1） 理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值；會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值；掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性；會(huì)判斷所給函數(shù)的類(lèi)別。

（2）了解函數(shù)與其反函數(shù)之間的關(guān)系（ 定義域、值域、圖象），會(huì)求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

（3）理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程。

（4） 掌握基本初等函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)及其圖象；了解初等函數(shù)的概念；會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系式。

2.極限

（1） 理解極限的概念；能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢(shì)；會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限；了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

（2） 了解極限的有關(guān)性質(zhì)；掌握極限的四則運(yùn)算法則。

（3） 理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念；掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系；會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較；會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限。

（4） 熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

3.連續(xù)

（1） 理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡(jiǎn)單函數(shù)（含分段函數(shù)） 在一點(diǎn)的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與極限存在的關(guān)系。

（2） 會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)及確定其類(lèi)型。

（3） 掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會(huì)運(yùn)用介值定理推證一些簡(jiǎn)單命題。

（4） 理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會(huì)利用連續(xù)性求極限。

（二） 一元函數(shù)微分學(xué)

1.導(dǎo)數(shù)與微分

（1） 理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。

（2） 會(huì)求曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程與法線(xiàn)方程。

（3） 熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法， 會(huì)求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

（4） 掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法。

（5） 理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)。

（6） 理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。

2.中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（1） 了解羅爾定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義；會(huì)用羅爾定理證明方程根的存在性；會(huì)用拉格朗日中值定理證明簡(jiǎn)單的不等式。

（2） 熟練掌握利用洛必達(dá)法則求各種未定式極限的方法。

（3） 掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，掌握函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解方法， 會(huì)利用函數(shù)的單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。

（4） 理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最值的方法，并且會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。

（5） 會(huì)判定曲線(xiàn)的凹凸性，會(huì)求曲線(xiàn)的拐點(diǎn)。

（6） 會(huì)求曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)、水平漸近線(xiàn)和垂直漸近線(xiàn)。

（三） 一元函數(shù)積分學(xué)

1.不定積分

（1） 理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理。

（2） 熟練掌握不定積分的基本積分公式。

（3） 熟練掌握不定積分第一類(lèi)換元積分法，掌握第二類(lèi)換元換元法（限于三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。

（4） 熟練掌握不定積分的分部積分法。

（5） 會(huì)求簡(jiǎn)單有理函數(shù)的不定積分。

2.定積分

（1） 理解定積分的概念與幾何意義；掌握定積分的基本性質(zhì)。

（2） 理解變上限積分的概念，掌握對(duì)變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。

（3） 掌握牛頓— 萊布尼茨公式；掌握定積分的換元積分法與分部積分法。

（4） 理解無(wú)限區(qū)間和無(wú)界函數(shù)的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。

（5） 掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積；會(huì)用定積分求平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積，會(huì)用定積分求平面曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)。

（四） 空間解析幾何與向量代數(shù)

1.向量代數(shù)

（1） 理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法；會(huì)求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影。

（2） 掌握向量的線(xiàn)性運(yùn)算、向量的數(shù)量積（點(diǎn)積） 與向量積（叉積） 的計(jì)算方法。

（3） 掌握兩個(gè)向量平行、垂直的條件。

2.平面與直線(xiàn)

（1） 會(huì)求平面的點(diǎn)法式方程、一般式方程；會(huì)判定兩平面的垂直、平行。

（2） 會(huì)求點(diǎn)到平面的距離。

（3） 了解直線(xiàn)的一般式方程，會(huì)求直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程、參數(shù)式方程；會(huì)判定兩直線(xiàn)平行、垂直。

（4） 會(huì)判定直線(xiàn)與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線(xiàn)在平面上）。

3.簡(jiǎn)單的二次曲面

了解球面、母線(xiàn)平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。

（五） 多元函數(shù)微積分

1.多元函數(shù)微分學(xué)

（1） 了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極值與連續(xù)概念；會(huì)求二元函數(shù)的定義域。

（2） 理解偏導(dǎo)數(shù)概念，了解全微分概念，了解全微分存在的必要條件與充分條件。

（3） 掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法；掌握多元復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法。

（4） 會(huì)求二元函數(shù)的全微分。

（5） 掌握二元函數(shù)隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法。

（6） 會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值。

2.重積分

（1） 理解二重積分的概念及其性質(zhì)。

（2） 掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計(jì)算方法。

（六） 無(wú)窮級(jí)數(shù)

1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

（1） 理解級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散的概念；掌握級(jí)數(shù)收斂的必要條件；了解級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)。

（2） 掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較、比值和根值判別準(zhǔn)則，掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判定方法，會(huì)使用萊布尼茨準(zhǔn)則。

（3） 掌握等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）、調(diào)和級(jí)數(shù)及 P 級(jí)數(shù)的斂散性。

（4） 掌握級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的判定。

2.冪級(jí)數(shù)

（1）了解冪級(jí)數(shù)的概念。

（2）了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（ 和、差、逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分） 。

（3） 掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域以及和函數(shù)的計(jì)算方法。

（七） 常微分方程

1.一階微分方程

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。

（2） 掌握可分離變量微分方程的解法，掌握齊次微分方程的解法， 掌握一階線(xiàn)性微分方程的解法。

2.二階微分方程

（1） 了解可降階的二階微分方程，了解二階線(xiàn)性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

（2） 掌握可降階的二階微分方程的解法。

（3） 掌握二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的解法。

四、考試形式

試卷總分：150 分考試時(shí)間：120 分鐘

考試方式：閉卷，筆試

五、試卷結(jié)構(gòu)

1.試卷內(nèi)容比例

2.試卷題型比例

3.試題難易比例

六、參考教材

《高等數(shù)學(xué)（第六版）》（ 上、下冊(cè)） 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著， 高等教育出版社。

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