2020年湖北文理學(xué)院普通專升本《高等數(shù)學(xué)》考試大綱

一、基本要求：

考生應(yīng)按本大綱的要求，了解或理解“高等數(shù)學(xué)”中函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、向量代數(shù)與空間解析幾何、多元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級數(shù)、常微分方程的基本概念與基本理論；學(xué)會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應(yīng)注意各部分知識的結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；應(yīng)具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運(yùn)算能力、空間想象能力；有運(yùn)用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準(zhǔn)確地計算；能綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析并解決簡單的實際問題。

本大綱對內(nèi)容的要求由低到高，對概念和理論分為“了解”和“理解”兩個層次；對方法和運(yùn)算分為“會”、“掌握”和“熟練掌握”三個層次。

二、考試方法和時間：

考試方法為閉卷考試，考試時間為90分鐘。

三、考試題型大致比例：

選擇題：100%，試卷滿分：100分。

四、考試內(nèi)容和要求：

第一章  函數(shù)、極限和連續(xù)

（一）函數(shù)

考試內(nèi)容：

（1）函數(shù)的概念：函數(shù)的定義    函數(shù)的表示法    分段函數(shù)；

（2）函數(shù)的簡單性質(zhì)：單調(diào)性    奇偶性    有界性    周期性；

（3）反函數(shù)：反函數(shù)的定義    反函數(shù)的圖象；

（4）函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算；

（5）基本初等函數(shù)：冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 三角函數(shù)  反三角函數(shù)；

（6）初等函數(shù)。

考試要求：

（1）理解函數(shù)的概念，會求函數(shù)的定義域、表達(dá)式及函數(shù)值；會求分段函數(shù)的定義域、函數(shù)值，并會做出簡單的分段函數(shù)圖象；

（2）理解和掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性，會判斷所給函數(shù)的類別；

（3）了解函數(shù)y=?（x）與其反函數(shù)y=?^-1（x）之間的關(guān)系（定義域、值域、圖象），會求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)；

（4）理解和掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算，熟練掌握復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程；

（5）掌握基本初等函數(shù)的簡單性質(zhì)及其圖像象；

（6）了解初等函數(shù)的概念；

（7）會建立簡單實際問題的函數(shù)關(guān)系式。

（二）極限

考試內(nèi)容：

（1）數(shù)列極限的概念：數(shù)列    數(shù)列極限的定義；

（2）數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性  有界性  四則運(yùn)算定理  夾逼定理  單調(diào)有界數(shù)列  極限存在定理；

（3）函數(shù)極限的概念：函數(shù)在一點處極限的定義  左、右極限及其與極限的關(guān)系x趨于無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函數(shù)的極限  函數(shù)極限的幾何意義；

（4）函數(shù)極限的定理：唯一性定理    夾逼定理    四則運(yùn)算定理；

（5）無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義  無窮小量與無窮大量的關(guān)系  無窮小量與無窮大量的性質(zhì)  兩個無窮小量階的比較；

（6）兩個重要極限

基本要求：

（1）理解極限的概念（對極限定義中“ε- N”、“ε- δ”、“ε- M”的描述不作要求），能根據(jù)極限概念分析函數(shù)的變化趨勢。會求函數(shù)在一點處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點處極限存在的充分必要條件；

（2）了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則；

（3）理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系  會進(jìn)行無窮小量階的比較（高階、低階、同階和等階）  會運(yùn)用等價無窮小量代換求極限；

（4）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。

（三）連續(xù)

考試內(nèi)容：

（1）函數(shù)連續(xù)的概念：函數(shù)在一點連續(xù)的定義  左連續(xù)和右連續(xù)  函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件  函數(shù)的間斷點及其分類；

（2）函數(shù)在一點處連續(xù)的性質(zhì)：連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性  反函數(shù)的連續(xù)性；

（3）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性定理  最大值和最小值定理  介值定理（包括零點定理）；

（4）初等函數(shù)的連續(xù)性。

基本要求：

（1）理解函數(shù)在一點連續(xù)與間斷的概念，掌握判斷簡單函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點的連續(xù)性，理解函數(shù)在一點連續(xù)與極限存在的關(guān)系；

（2）會求函數(shù)的間斷點及確定其類型；

（3）掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，會運(yùn)用介值定理推證一些簡單命題；

（4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上連續(xù)，并會利用連續(xù)性求極限。

第二章  一元函數(shù)微分學(xué)

（一）導(dǎo)數(shù)與微分

考試內(nèi)容：

（1）導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義  左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù)  導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義  可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；

（2）求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的基本公式：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算  反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)  導(dǎo)數(shù)的基本公式；

（3）求導(dǎo)方法：復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法  隱函數(shù)的求導(dǎo)法  對數(shù)求導(dǎo)法  由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)法  求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

（4）高階導(dǎo)數(shù)的概念：高階導(dǎo)數(shù)的定義  高階導(dǎo)數(shù)的計算；

（5）微分：微分的定義  微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系  微分法則  一階微分形式不變性。

基本要求：

（1）理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會用定義求函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)；

（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程；

（3）熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

（4）掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法、對數(shù)求導(dǎo)法以及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

（5）理解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)；

（6）理解函數(shù)的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導(dǎo)的關(guān)系，會求函數(shù)的一階微分。

（二）中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

考試內(nèi)容：

（1）中值定理：羅爾（Rolle）中值定理  拉格朗日（Lagrange）中值定理；

（2）洛必達(dá)（L’Hospital）法則；

（3）函數(shù)增減性的判定法；

（4）函數(shù)極值與極值點  最大值與最小值；

（5）曲線的凹凸性、拐點；

（6）曲線的水平漸近線與垂直漸近線。

考試要求：

（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。會用羅爾中值定理證明方程根的存在性。會用拉格朗日中值定理證明簡單的不等式；

（2）熟練掌握洛必達(dá)法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0?∞”、“∞-∞”、“1^∞”、“0⁰”和“∞⁰”型未定式的極限方法；

（3）掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法，會利用函數(shù)的增減性證明簡單的不等式；

（4）理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的極值和最大（?。┲档姆椒?，并且會解簡單的應(yīng)用問題；

（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點；

（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線；

（7）會作出簡單函數(shù)的圖形。

第三章  一元函數(shù)積分學(xué)

（一）不定積分

考試內(nèi)容：

（1）不定積分的概念：原函數(shù)與不定積分的定義  原函數(shù)存在定理  不定積分的性質(zhì)；

（2）基本積分公式；

（3）換元積分法：第一換元法（湊微分法）  第二換元法；

（4）分部積分法；

（5）一些簡單有理函數(shù)的積分。

基本要求：

（1）理解原函數(shù)與不定積分概念及其關(guān)系，掌握不定積分性質(zhì)，了解原函數(shù)存在定理；

（2）熟練掌握不定積分的基本公式；

（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限于三角代換與簡單的根式代換）；

（4）熟練掌握不定積分的分部積分法；

（5）會求簡單有理函數(shù)的不定積分。

（二）定積分

考試內(nèi)容：

（1）定積分的概念：定積分的定義及其幾何意義  可積條件；

（2）定積分的性質(zhì)；

（3）定積分的計算：變上限的定積分  牛頓一萊布尼茨（Newton - Leibniz）公式  換元積分法  分部積分法；

（4）無窮區(qū)間的廣義積分；

（5）定積分的應(yīng)用：平面圖形的面積  旋轉(zhuǎn)體的體積  物體沿直線運(yùn)動時變力所作的功。

基本要求：

（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件；

（2）掌握定積分的基本性質(zhì)；

（3）理解變上限的定積分是變上限的函數(shù)，掌握對變上限定積分求導(dǎo)數(shù)的方法；

（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式；

（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法；

（6）理解無窮區(qū)間廣義積分的概念，掌握其計算方法；

（7）掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成的旋轉(zhuǎn)體體積；會用定積分求沿直線運(yùn)動時變力所作的功。

第四章  向量代數(shù)與空間解析幾何

（一）向量代數(shù)

考試內(nèi)容：

（1）向量的概念：向量的定義  向量的模  單位向量  向量在坐標(biāo)軸上的投影

    向量的坐標(biāo)表示法  向量的方向余弦；

（2）向量的線性運(yùn)算：向量的加法  向量的減法  向量的數(shù)乘；

（3）向量的數(shù)量積二向量的夾角  二向量垂直的充分必要條件；

（4）二向量的向量積  二向量平行的充分必要條件。

基本要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標(biāo)表示法，會求單位向量、方向余弦、向量在坐標(biāo)軸上的投影；

（2）掌握向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積與向量積的計算方法；

（3）掌握二向量平行、垂直的條件。

（二）平面與直線

考試內(nèi)容：

（1）常見的平面方程：點法式方程  一般式方程；

（2）兩平面平行的條件  兩平面垂直的條件  點到平面的距離；

（3）空間直線方程：標(biāo)準(zhǔn)式方程（又稱對稱式方程或點向方程） 一般式方程  參數(shù)式方程；

（4）兩直線平行的條件  兩直線垂直的條件  直線在平面上的條件。

基本要求：

（1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行；

（2）會求點到平面的距離；

（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標(biāo)準(zhǔn)式方程、參數(shù)式方程會判定兩直線平行、垂直；

（4）會判定直線與平面間的關(guān)系（垂直、平行、直線在平面上）。

（三）簡單的二次曲面

考試內(nèi)容：

球面  母線平行于坐標(biāo)軸的柱面  旋轉(zhuǎn)拋物面  圓錐面  橢球面；

基本要求：

了解球面、母線平行于坐標(biāo)軸的柱面、旋轉(zhuǎn)拋物面、圓錐面和橢球面的方程及其圖形。

第五章  多元函數(shù)微積分

（一）多元函數(shù)微分學(xué)

考試內(nèi)容：

（1）多元函數(shù)：多元函數(shù)的定義  二元函數(shù)的定義域  二元函數(shù)的幾何意義  

二元函數(shù)極限與連續(xù)的概念；

（2）偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)  全微分  二階偏導(dǎo)數(shù)；

（3）復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；

（4）隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；

（5）二元函數(shù)的無條件極值及條件極值。

基本要求：

（1）了解多元函數(shù)的概念、二元函數(shù)的幾何意義及二元函數(shù)的極限與連續(xù)概念（對計算不作要求）。會求二元函數(shù)的定義域；

（2）理解偏導(dǎo)數(shù)概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件；

（3）掌握二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)計算方法；

（4）掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法；

（5）會求二元函數(shù)的全微分；

（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函數(shù)z=z（x，y）的一階偏導(dǎo)數(shù)的計算方法；

（7）會求二元函數(shù)的無條件極值及條件極值。

（二）二重積分

考試內(nèi)容：

（1）二重積分的概念：二重積分的定義  二重積分的幾何意義；

（2）二重積分的性質(zhì)；

（3）二重積分的計算；

（4）二重積分的應(yīng)用。

基本要求：

（1）理解二重積分的概念及其性質(zhì)；

（2）掌握二重積分在直角坐標(biāo)系及極坐標(biāo)系下的計算方法；

（3）會用二重積分解決簡單的應(yīng)用問題（限于空間封閉曲面所圍成的有界區(qū)域的體積、平面薄板質(zhì)量）。

（三）第一類曲線積分與第二類曲線積分

考試內(nèi)容：

第一類曲線積分與第二類曲線積分的概念及其計算方法；

格林（Green）公式；

平面曲線積分與路徑無關(guān)條件。

基本要求：

（1）理解第一類曲線積分與第二類曲線積分的概念及其性質(zhì)；

（2）掌握第一類曲線積分與第二類曲線積分的計算方法；

（3）掌握格林（Green）公式；

（4）掌握平面曲線積分與路徑無關(guān)條件。

第六章  無窮級數(shù)

（一）數(shù)項級數(shù)

考試內(nèi)容：

（1）數(shù)項級數(shù)：數(shù)項級數(shù)的概念  級數(shù)的收斂與發(fā)散  級數(shù)的基本性質(zhì)  級數(shù)收斂的必要條件；

（2）正項級數(shù)斂散性的判別法：比較判別法  比值判別法；

（3）任意項級數(shù)：交錯級數(shù)  絕對收斂  條件收斂  萊布尼茨判別法。

考試要求：

（1）理解級數(shù)收斂、發(fā)散的概念。掌握級數(shù)收斂的必要條件，了解級數(shù)的基本性質(zhì)；

（2）掌握正項級數(shù)的比值判別法。會用正項級數(shù)的比較判別法；

（3）掌握幾何級數(shù)、調(diào)和級數(shù)與級數(shù)的收斂性；

（4）了解級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。

（二）冪級數(shù)

考試內(nèi)容：

（1）冪級數(shù)的概念：收斂半徑  收斂區(qū)間；

（2）冪級數(shù)的基本性質(zhì)；

（3）將簡單的初等函數(shù)展開為冪級數(shù)。

考試要求：

（1）了解冪級數(shù)的概念；

（2）了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)（和、差、逐項求導(dǎo)與逐項積分）；

（3）掌握求冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間（不要求討論端點）的方法；

（4）會運(yùn)用，，，，的麥克勞林（Maclaurin）公式，將一些簡單的初等函數(shù)展開為或的冪級數(shù)。

第七章  常微分方程

（一）一階微分方程

考試內(nèi)容：

（1）微分方程的概念：微分方程的定義  階  解  通解  初始條件  特解；

（2）可分離變量的方程；

（3）一階線性方程。

考試要求：

（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解；

（2）掌握可分離變量方程的解法；

（3）掌握一階線性方程的解法。

（二）可降價方程

考試內(nèi)容：

（1）型方程     

（2）型方程

 考試要求：

（1）會用降價法解型方程

（2）會用降價法解型方程

（三）二階線性微分方程

考試內(nèi)容：

（1）二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

（2）二階常系數(shù)齊次線性微分方程

（3）二階常系數(shù)非齊交線性微分方程

考試要求：

（1）了解二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)。

（2）掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法。

（3）掌握二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法（自由項限定為，其中為的次多項式。為實常數(shù)；+

，其中、、A、B為實常數(shù)）。

參考書目：《高等數(shù)學(xué)》（第四、五版）  同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編  高等教育出版社