廣東石油化工學院2020年專插本數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)考試大綱

《高等代數(shù)》考試大綱

一、考試對象

數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)本科插班生

二、考試目的

《高等代數(shù)》是高等院校數(shù)學專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，既是專升本必考科目之一，也是數(shù)學專業(yè)考研必考科目之一。

 1、考生應了解或理解本科目中的映射、數(shù)域、一元多項式、n階行列式、線性方程組、矩陣、向量空間、線性變換、歐氏空間、二次型等基本概念及其相關(guān)知識點，對其能夠做到熟練應用，能夠用其來解決一些應用問題。

2、考生應掌握或者熟練掌握上述各部分的基本方法，應理解各部分知識結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系。

3、考生應具備一定的邏輯推理、抽象思維與綜合分析問題的能力。能運用高等代數(shù)中的基本知識和基本理論進行一定的推理和證明。

4、考生需熟練掌握高等代數(shù)中一些常用的計算方法及基本運算中的有關(guān)技能、技巧，以提高綜合計算和解決問題的能力。

三、考試方法

1、考試方法：（閉卷 筆試）

2、記分方式：百分制，滿分為100分

3、命題的指導思想和原則

命題的總的指導思想是：全面考查學生對本課程的基本原理、基本概念和主要知識點學習、理解和掌握的情況，特別是靈活解決問題的能力。命題的原則是：考試范圍廣，題目數(shù)量較多、份量較小。其中基本知識點約占60%，稍微靈活一點的題目約占20%，較難的題目約占20%。客觀性的題目應占比較重的份量。

4、題目類型

單項選擇題、填空題、計算題、綜合題、證明題

四、試題內(nèi)容及要求

一、基本概念

(一)知識范圍

 1. 映射

映射的定義、滿射、單射與雙射、映射的相等、映射的合成、逆映射。

2．數(shù)域

數(shù)域的定義、最小的數(shù)域。

(二)要求

1．熟記映射、滿射、單射、雙射的定義，理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。能根據(jù)定義判定所給的法則是否為映射，為何種映射。理解映射的相等與映射的合成概念。

2．會正確地判定所給的數(shù)集是否為數(shù)域。

二、一元多項式

(一)知識范圍

1．一元多項式的概念、運算及整除性

一元多項式的定義及運算、多項式整除的定義、整除的基本性質(zhì)、帶余除法定理。

2．多項式的最大公因式

因式、公因式、最大公因式的定義、輾轉(zhuǎn)相除法、多項式互素的判別方法多項式互素的性質(zhì)。

3．多項式的因式分解

不可約多項式的性質(zhì)、因式分解存在唯一性定理、多項式的典型分解式。

4．多項式的重因式與根

多項式有無重因式的判斷、多項式的值與根、余式定理、綜合除法。

5．復數(shù)域、實數(shù)域、有理數(shù)域上的多項式

代數(shù)基本定理、復數(shù)域上多項式的典型分解式、實數(shù)域上多項式的典型分解式、有理數(shù)域上多項式的可約性、艾森斯坦因判別法、有理數(shù)域上多項式的有理根、整系數(shù)多項式的有理根。

(二)要求

1．理解一元多項式的基本概念，掌握整除的定義，掌握整除的基本性質(zhì)并會運用這些性質(zhì)證明有關(guān)的基本問題。熟練掌握帶余除法的方法，并用帶余除法解決有關(guān)的基本問題。

2．掌握多項式的最大公因式的定義，熟練應用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公因式。理解多項式互素的概念及性質(zhì)，初步掌握運用互素的定義及性質(zhì)證明有關(guān)問題的基本方法。

3．掌握不可約多項式的定義及性質(zhì)。正確理解多項式因式分解存在唯一性定理，了解典型分解式的形式及其意義。

4．正確理解重因式的概念，熟練掌握有無重因式的判定方法。掌握多項式值與根的定義及余式定理。

5．理解代數(shù)基本定理 掌握復數(shù)域、實數(shù)域上多項式的典型分解式的特征。熟練掌握有理系數(shù)多項式有理根的求法。

三、行列式

(一)知識范圍

1．排列

排列的定義、排列的反序數(shù)、排列的奇偶性。

2．n階行列式

n階行列式的定義、子式與代數(shù)余子式的概念、行列式的性質(zhì)、行列式的依行依列展開、范德蒙行列式。

3．克萊姆法則

(二)要求

1．理解排列的有關(guān)概念，會計算排列的反序數(shù)，確定排列的奇偶性。

2．深刻理解n階行列式的定義并能利用定義計算行列式。熟練掌握行列式的性質(zhì)，能正確地按行(列)展開行列式，并能靈活運用行列式的性質(zhì)和展開定理計算行列式。

四、線性方程組

(一)知識范圍

1．矩陣的初等變換與矩陣的秩、矩陣的k階子式、用初等變換解線性方程組。

2．齊次線性方程組

齊次線性方程組的定義、齊次線性方程組的零解與非零解、齊次線性方程組有非零解的條件、齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的定義、存在條件及求法。

3．一般線性方程組有解的判別方法及解的求法、一般線性方程組解的結(jié)構(gòu)。

(二)要求

1．理解矩陣的k階子式、矩陣的秩與矩陣初等變換的定義。熟練運用矩陣的初等變換求矩陣的秩和解線性方程組。

2．準確判定所給的齊次線性方程組有無非零解。在有非零解時，能熟練地求出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。

3．熟練掌握一般線性方程組可解的判別定理和線性方程組有唯一解及無窮多解的條件，會用導出齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系表示一般線性方程組的全部解。

五、矩陣

(一)知識范圍

1．矩陣的運算及運算律

矩陣可加的條件與加法法則、矩陣可乘的條件與乘法法則、數(shù)與矩陣的乘法法則、方陣的冪。

2．初等矩陣

初等矩陣的性質(zhì)、初等矩陣與初等變換的聯(lián)系。

3．矩陣的逆

可逆矩陣與逆矩陣的定義、可逆矩陣的性質(zhì)、可逆矩陣的判定、逆矩陣的求法。

4．矩陣乘積的行列式與矩陣乘積的秩。

(二)要求

1．熟練掌握矩陣各種運算的法則及運算規(guī)律。

2．了解初等矩陣的定義、性質(zhì)及其與初等變換的關(guān)系。

3．理解可逆矩陣的定義、性質(zhì)，掌握矩陣可逆的判定法則及應用定義,性質(zhì)證明有關(guān)問題，能熟練運用公式求逆矩陣及初等變換法求可逆矩陣的逆矩陣。

六、向量空間

(一)知識范圍

1．向量空間及向量的線性相關(guān)性

向量空間的定義、向量空間的性質(zhì)、向量的線性組、向量的線性表示、向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)、向量組的等價、極大線性無關(guān)組、向量組的秩。

2．基、維數(shù)與坐標

向量空間的基的定義、基的性質(zhì)、向量空間的維數(shù)、維數(shù)的求法、向量的坐標、坐標的求法、基的過渡矩陣、過渡矩陣的性質(zhì)、過渡矩陣的求法、基變換公式、坐標變換公式。

3．子空間

子空間的定義、子空間的判別定理、子空間的交與和、生成子空間、子空間的基與維數(shù)維數(shù)公式。

4．歐氏空間

內(nèi)積與歐氏空間的定義、內(nèi)積的性質(zhì)、向量的長度、向量的夾角、柯西不等式、向量的正交、正交向量組、標準正交基、標準正交化方法。

(二)要求

1．理解向量空間的定義、性質(zhì)，深刻理解向量線性相關(guān)性的一系列概念，靈活運用上述概念、性質(zhì)判斷或證明有關(guān)的問題。

2．掌握常見的向量空間的基、維數(shù)、坐標及過渡矩陣的求法。

3．理解子空間、交子空間和子空間、生成子空間的概念，掌握子空間的判別方法及維數(shù)公式的應用。

4．熟記內(nèi)積與歐氏空間的有關(guān)概念，會計算內(nèi)積、向量的長度、夾角和標準正交基。

七、線性變換

(一)知識范圍

1．線性變換及其運算

線性變換的定義、線性變換的性質(zhì)、線性變換的和、數(shù)與線性變換的乘積、線性變換的合成(線性變換的乘積)、線性變換的方冪、線性變換運算的運算律。

2．線性變換的矩陣

線性變換的矩陣的定義、線性變換下像向量的坐標、矩陣相似的定義、相似矩陣的性質(zhì)、線性變換關(guān)于不同基的矩陣的相似關(guān)系、在一個確定基下線性變換與矩陣間的1-1對應關(guān)系、線性變換可逆的條件。

3．線性變換和矩陣的特征值、特征向量  

特征值、特征向量、特征多項式的定義、 特征多項式的求法、特征值的求法、特征向量的求法。

4．矩陣的對角化

矩陣對角化的定義、矩陣可對角化的條件矩陣對角化的方法。

(二)要求

1．掌握線性變換的定義、性質(zhì)和基本運算，熟練判斷所給的變換是否為線性變換。

2．掌握線性變換矩陣的定義、矩陣相似的定義，并運用線性變換的矩陣計算像的坐標。深刻理解線性變換關(guān)于不同基的矩陣彼此相似。

3．掌握線性變換和矩陣的特征值、特征向量的概念，注意線性變換的特征值、特征向量與矩陣的特征值、特征向量的聯(lián)系和區(qū)別。熟練掌握特征值、特征向量的求法。

4．理解線性變換與矩陣可對角化的含義，熟練掌握可對角化的條件和對角化的方法。對實對稱矩陣A ，會求正交矩陣U ，使得 U'AU 為對角形。

八、二次型

(一)知識范圍

1．二次型及其矩陣表示

二次型的矩陣、二次型的秩、變量的線性變換、變量的非退化線性變換、二次型的等價、 矩陣合同的定義及性質(zhì)、等價二次型的矩陣合同、任一對稱矩陣必與對角矩陣合同。

2．二次型的標準形

化二次型為平方和的方法、二次型的標準型(系數(shù)為±1的平方和形式) 、化二次型為標準形的方法 實二次型的正慣性指標、負慣性指標、符號差 復二次型、實二次型標準形的唯一性。

3．正定二次型

正定二次型的定義、正定矩陣的定義、正定二次型的判定、正定矩陣的判定。

(二)要求

1．理解二次型及矩陣合同的有關(guān)概念，明確施行非退化線性變換前后的兩個二次型是等價的，它們的矩陣是合同的。會利用矩陣的初等變換把對稱矩陣化為與之合同的對角矩陣。

2．理解二次型的平方和、標準形及實二次型的慣性指標、符號差的概念，掌握化二次型為平方和及標準形的方法。

3．熟記正定二次型、正定矩陣的定義及性質(zhì)，掌握正定二次型與正定矩陣的判別方法。

五、參考書目

1.高等代數(shù)（第五版），張禾瑞，郝炳新，北京：高等教育出版社，2010．

2.高等代數(shù)（第四版），王萼芳，石生明，北京：高等教育出版社，2013．

《數(shù)學分析》考試大綱

一、考試對象

數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)本科插班生

二、考試目的

《數(shù)學分析》是數(shù)學類專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課， 既是專升本必考科目之一，也是本考研必考科目之一。

考生應按本大綱的要求了解或理解本科目中涉及的實數(shù)的連續(xù)性、數(shù)列與函數(shù)極限和連續(xù)、一元函數(shù)微積分學、多元函數(shù)微積分學初步和級數(shù)斂散性。

考生應掌握或者熟練掌握上述各部分的基本方法，應理解各部分知識結(jié)構(gòu)及知識的內(nèi)在聯(lián)系；

考生應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力；能運用基本概念、基本理論和基本方法，正確地判斷和證明，準確地計算；

考生能綜合運用所掌握知識分析并解決簡單的實際問題。

三、考試方法

1、考試方法：（閉卷 筆試）

2、記分方式：百分制，滿分為100分

3、命題的指導思想和原則

命題的總的指導思想是：全面考查學生對本課程的基本原理、基本概念和主要知識點學習、理解和掌握的情況，特別是靈活解決問題的能力。命題的原則是：題目數(shù)量多、份量小，范圍廣，最基本的知識一般要占60%左右，稍微靈活一點的題目要占20%左右，較難的題目要占20%左右。客觀性的題目應占一定的份量。

4、題目類型

單項選擇題、填空題、計算題、綜合應用題和證明題

四、考試內(nèi)容、要求

第一章  實數(shù)集與函數(shù)

1、實數(shù)

1) 了解實數(shù)及其性質(zhì)

2) 掌握絕對值不等式

2、數(shù)集、確界原理

1) 掌握區(qū)間與鄰域

2) 熟練有界集、確界原理

3、函數(shù)概念

1) 掌握函數(shù)的定義和定義域的求法

2) 了解函數(shù)的三種表示法

3) 掌握函數(shù)四則運算

4) 熟練掌握復合函數(shù)定義及符合函數(shù)的分解

5) 了解反函數(shù)的定義及求法

6) 掌握初等函數(shù)的定義及其圖形

4、具有某些特性的函數(shù)

1) 熟練掌握有界函數(shù)定義及其性質(zhì)

2) 熟練掌握單調(diào)函數(shù)定義及其性質(zhì)

3) 熟練掌握函數(shù)奇偶性判別法及其性質(zhì)

4) 熟練掌握周期函數(shù)及其性質(zhì)

第二章  數(shù)列極限（重點）

1、數(shù)列極限的概念

1) 熟練掌握極限定義并運用定義證明極限（重點）

2) 掌握無窮小數(shù)列

2、熟練掌握收斂數(shù)列的性質(zhì)及極限求法

3、熟練掌握數(shù)列極限存在的條件

第三章  函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念

1) 掌握 x→∞  時函數(shù)的極限

2) 掌握 x→x0 時函數(shù)的極限

2、函數(shù)極限的性質(zhì)

熟練掌握函數(shù)極限的性質(zhì)

3、掌握函數(shù)極限存在的條件

4、熟練掌握并運用兩個重要極限（重點）

5、掌握無窮小量與無窮大量，無窮小量階的比較

6、理解并掌握常用的幾個等價無窮小。（重點）

第四章  函數(shù)連續(xù)性（重點）

1、連續(xù)性概念

1) 熟練掌握函數(shù)在一點的連續(xù)性

2) 了解間斷及其分類

3) 掌握區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1) 掌握連續(xù)函數(shù)局部性質(zhì)

2) 熟練掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)

3) 了解反函數(shù)連續(xù)性

4) 掌握函數(shù)一致連續(xù)性

3、初等函數(shù)的連續(xù)性

1) 掌握指數(shù)的連續(xù)性

2) 掌握初等函數(shù)的連續(xù)性

第五章  導數(shù)與微分（重點）

1、導數(shù)概念

1) 熟練掌握導數(shù)的定義

2) 掌握導函數(shù)

3) 了解導數(shù)的幾何意義

2、求導法則

1) 掌握導數(shù)的四則運算法則

2) 掌握反函數(shù)的導數(shù)公式

3) 熟練掌握復合函數(shù)的導數(shù)求法

4) 熟練掌握基本求導法則和公式

3、熟練掌握含參變量函數(shù)的導數(shù)

4、掌握高階導數(shù)

5、微分

1) 掌握微分概念

2) 掌握微分運算法則

3) 了解高階微分

4) 了解微分在近似計算中的應用

第六章  微分中值定理及其應用（重點）

1、拉格朗日定理和函數(shù)單調(diào)性

1) 熟練掌握羅爾定理、拉格朗日定理條件和結(jié)論，懂得證明

2) 掌握函數(shù)單調(diào)性的條件與結(jié)論

3) 會用拉格朗日定理證明不等式

2、柯西中值定理和不等式極限

1) 掌握柯西中值定理內(nèi)容及結(jié)論

2) 熟練掌握不等式極限的求法

3、泰勒公式（一般要求）

1) 掌握帶皮爾諾余項的泰勒公式

2) 掌握帶拉格朗日余項的泰勒公式求法

3) 了解泰勒公式在近似計算上應用

4、函數(shù)的極限與最大（最小）值

1) 熟練掌握極限判別的種種方法，會求極限

2) 掌握最大值與最小值的求法

5、函數(shù)的凸性與拐點

熟練掌握函數(shù)的凸性判別及拐點求法

6、函數(shù)圖形討論（不考）

1) 掌握討論函數(shù)圖象的性態(tài)

2) 了解根據(jù)特殊點描繪圖象

第七章  實數(shù)的完備性

1、實數(shù)完備性的基本定理（不作重點要求）

1)熟練掌握區(qū)間套定理和柯西收斂準則并掌握證明。

2)熟練掌握聚點定理與有限覆蓋定理并掌握其證明。

3)了解實數(shù)完備性的基本定理的等價性。

2、閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

掌握閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

3、上極限和下極限（不作重點要求）

了解上極限與下極限

第八章  不定積分（重點）

1、不定積分概念與基本積分公式

1)掌握原函數(shù)與不定積分概念

2)熟練掌握基本積分表

3)掌握不定積分的線性運算法則

2、換元積分法與分部積分法

1)熟練掌握換元積分法

2)熟練掌握分部積分法

3、有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的積分

1)掌握有理函數(shù)的積分

2)掌握三角函數(shù)有理式的積分

3)了解某些無理函數(shù)的積分

第九章  定積分

1、定積分概念

1)了解定積分來源于社會實踐

2)了解定積分的定義

3)牛頓—萊布尼茲公式

熟練掌握牛—萊公式級運用公式進行計算

2、可積條件（重點）

1)了解可積的必要條件

2)了解上積與下積

3)掌握可積的必要條件

4)了解可積函數(shù)類

3、定積分的性質(zhì)

掌握定積分的性質(zhì)定理級其運用

4、微積分學基本定理，定積分與計算

1) 熟練掌握微積分學基本定理

2)熟練掌握換元積分法和分部積分法

3)掌握泰勒公式的積分型余項

第十章  定積分的應用

1、平面圖形的面積

熟練掌握選用定積分耱平面圖形面積

2、由截面面積求立體體積

熟練掌握利用定積分求立體體積　

3、曲線的弧長與曲率

1) 熟練掌握求曲線弧長

2)了解曲率的求法

4、旋轉(zhuǎn)曲面的面積

1)掌握微元法求側(cè)面積

2)熟練掌握求旋轉(zhuǎn)曲面的面積

5、定各分在物理上的某些應用（不作重點要求）

1)掌握利用定積分求壓力

2)掌握利用定積分求變力做功

3)了解靜力矩與重心

4)了解平均值

6、反常積分（不作重點要求）

1)反常積分概念

掌握反常積分的概念

2)無窮積分性質(zhì)與收斂判別

熟練掌握無窮積分計算與斂散性判別

3)瑕積分的性質(zhì)與收斂判別

熟練掌握瑕積分計算與斂散性判別

第十二章  數(shù)項級數(shù)

1、級數(shù)的收斂性

掌握級數(shù)的斂散性

2、正項級數(shù)

1)掌握正項級數(shù)的一般判別原則

2)熟練掌握比式判別法和根式判別法

3、一般項級數(shù)

1)熟練掌握交錯級數(shù)的萊不尼茲判斂法

2)熟練掌握絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì)

3)了解阿貝爾判別法和狄利克雷判別法

第十四章  冪級數(shù)

1、冪級數(shù)

1)掌握冪級數(shù)的收斂半徑及收斂區(qū)間

2)掌握冪級數(shù)的性質(zhì)

3)了解冪級數(shù)的運算

2、函數(shù)的冪級數(shù)展開

1)熟練掌握泰勒級數(shù)

2)熟練掌握幾種初等函數(shù)的泰勒展開式

第十五章  傅立葉級數(shù)（不考）

1、傅立葉級數(shù)

1)了解三角級數(shù)、正交函數(shù)系

2)熟練掌握以 2π 為周期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)

3)了解收斂定理

2、以 2l 為周期的函數(shù)的展開式

掌握偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅立葉級數(shù)

3、了解收斂定理的證明

第十六章  多元函數(shù)的極限與連續(xù)

1、平面電集與多元函數(shù)

1)了解平面點集

2)了解 R2 上完備性定理

3)掌握二元函數(shù)

4)了解 n 元函數(shù)

2、二元函數(shù)的極限

1)熟練掌握二元函數(shù)的極限證明及存在性

2)了解累次極限

3、二元函數(shù)的連續(xù)性

1)掌握二元函數(shù)的連續(xù)性概念

2)了解有界閉域上二元函數(shù)的性質(zhì)

第十七章  多元函數(shù)微分學

1、可微性

1)掌握二元函數(shù)可微性及熟練掌握全微分

2)熟練掌握偏導數(shù)求法

3)了解可微性條件

4)了解可微性的幾何意義

5) 掌握可微性應用，會求曲面切平面與法線方程

2、復合函數(shù)微分法

1)了解復合函數(shù)微分法

2)掌握復合函數(shù)的全微分

3、方向?qū)?shù)與梯度

掌握方向?qū)?shù)與梯度求法

4、泰勒公式與極值問題

1)掌握高階偏導數(shù)求法

2)了解中值定理和泰勒公式

3)熟練掌握求極值

第十八章  隱函數(shù)定理及其應用

1、隱函數(shù)

1)了解隱函數(shù)概念

2)了解隱函數(shù)存在性條件的分析

3)了解隱函數(shù)定理

4)熟練掌握隱函數(shù)求導

2、隱函數(shù)組

1)了解隱函數(shù)組的概念

2)了解隱函數(shù)組定理

3)了解反函數(shù)組與坐標變換

3、幾何應用

1)掌握平面曲線的切線與法平面

2)掌握空間曲線的切線與法平面

3) 掌握曲面的切平面與法線

4、條件極值

熟練掌握條件極值的求法

第十九章  含參變量積分

1、含參變量正常積分

掌握含參變量正常積分

2、含參變量反常積分

1)掌握一致收斂性及其判別法

2)熟練掌握含參量反常積分的性質(zhì)

第二十章  曲線積分

1、第一型曲線積分

1)了解第一型曲線積分的定義

2)熟練掌握第一型曲線積分的計算

2、第二型曲線積分

1)了解第二型曲線積分定義

2)熟練掌握第二型曲線積分計算

3)了解兩類曲線積分的關(guān)系

第二十一章  重積分

1、二重積分概念

1)了解平面圖形面積

2)了解二重積分的定義及其存在性

3)掌握二重積分性質(zhì)

2、直角坐標系下二重積分的計算

熟練掌握直角坐標系下二重積分的計算

3、格林公式曲線積分與路線無關(guān)性

1)熟練掌握并運用格林公式計算

2)熟練掌握曲線積分與路線無關(guān)條件和計算

4、二重積分的變量變換

1)熟練掌握二重積分的變量變換公式

2)熟練掌握用極坐標計算二重積分

5、三重積分了解三重積分概念

1)掌握化三重積分為累次積分

2)熟練掌握三重積分換元法

6、重積分的應用

1)掌握計算曲面面積

2)了解重心計算

3)了解求轉(zhuǎn)動慣量

4)了解引力計算

第二十二章  曲面積分

1、第一型曲面積分

1)了解第一型曲面積分概念

2)熟練掌握第一型曲面積分計算

2、第二型曲面積分

1)了解曲面的側(cè)

2)了解第二型曲面積分概念

3)熟練掌握第二型曲面積分的計算

4)了解兩類曲面積分關(guān)系

3、高斯公式與斯托克斯公式熟練掌握高斯公式及其計算

1)了解斯托克斯公式及其計算

五、參考書目

1.《數(shù)學分析講義》，劉玉璉等編，上、下冊(第五版) ，2008年，高等教育出版社.

2.《數(shù)學分析》（一），劉名生，馮偉貞 等，科學出版社.

3.《數(shù)學分析》（二），徐志庭，劉名生 等，科學出版社.

4.《數(shù)學分析》（三），耿堤，易法槐 等，科學出版社.

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